Физтех 2020, 11 класс, задача 6

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2020, 11 класс

а) Две окружности одинакового радиуса пересекаются в точках и . На первой окружности выбрана точка , а на второй - точка . Оказалось, что точка лежит на отрезке , а . На перпендикуляре к , проходящем через точку , выбрана точка так, что (точки и расположены по разные стороны от прямой ). Найдите длину отрезка .

б) Пусть дополнительно известно, что . Найдите площадь треугольника .

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ. а) ; б) .

Рисунок к решению

Решение. а) Пусть - радиусы данных в условии окружностей, , . Тогда

и по теореме синусов

Значит,

откуда .

б) Так как

то . Далее, углы и вписаны в равные окружности и опираются на одну и ту же хорду , поэтому они равны, и из прямоугольного треугольника находим, что

Тогда

поэтому

Итак,

Где

Значит,

Похожие задачи

Физтех 2025, 10 класс, задача 6

(5 баллов) На координатной плоскости построена фигура Φ, состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству |x-(15/2) +(y/6√(3))|+|x-(15/2) -(y/6√(3))|le 3. Фигуру Φ непрерывно повернули вокруг начала координат на угол π против часовой стрелки. Найдите площадь множества M, которое
Очень сложная
Выражения и преобразования
Планиметрия

Физтех 2025, 11 класс, задача 5

(5 баллов) Точка O — центр окружности ω1, описанной около остроугольного треугольника ABC. Окружность ω2, описанная около треугольника BOC, пересекает отрезок AB в точке P. Найдите площадь треугольника ABC, если AP=dfrac{15}{2}, BP=5, AC=9.
Очень сложная
Планиметрия

Физтех 2024, 11 класс, задача 4

(5 баллов) Две окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках A и B, а их общая касательная имеет с ω1 и ω2 общие точки C и D соответственно, причём точка B расположена ближе к прямой CD, чем точка A. Луч CB пересекает ω2 в точках B и E. Найдите отнош
Очень сложная
Планиметрия

Физтех 2023, 11 класс, задача 2

(5 баллов) Дан прямоугольный треугольник ABC. Окружность, касающаяся прямой BC в точке B, пересекает высоту CD, проведённую к гипотенузе, в точке F, а катет AC - в точке E. Известно, что ABparallel EF, AD:DB=3:1. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника CEF.
Очень сложная
Планиметрия