Физтех 2024, 11 класс, задача 4

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2024, 11 класс

( баллов) Две окружности и пересекаются в точках и , а их общая касательная имеет с и общие точки и соответственно, причём точка расположена ближе к прямой , чем точка . Луч пересекает в точках и . Найдите отношение , если диагональ четырёхугольника делит отрезок в отношении , считая от вершины .

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ. .

Рисунок к решению задачи 4

Решение. По теореме об угле между касательной и хордой равен половине дуги . По теореме о вписанном угле также равен половине дуги . Следовательно, .

Обозначим и заметим, что (вписанные, опираются на одну дугу); . Кроме того, , откуда .

Отсюда следует, что в треугольниках и есть по два равных угла. Во-первых, это означает, что третьи углы этих треугольников также равны (то есть - биссектриса угла ), а во-вторых - что треугольники подобны. Из подобия получаем

Отсюда

Обозначим точку пересечения диагоналей четырёхугольника через . Учитывая сказанное выше, - биссектриса треугольника . По свойству биссектрисы . Значит,

Похожие задачи

Физтех 2025, 10 класс, задача 3

(5 баллов) Окружность ω с диаметром AB пересекает сторону BC остроугольного треугольника ABC в точке D. Точка F выбрана на отрезке AC так, что DF perp AC а E — точка пересечения отрезка DF с окружностью ω отличная от D. Найдите AF если AC = 10, AB = 6, BE = 5.
Очень сложная
Планиметрия

Физтех 2020, 11 класс, задача 6

а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй - точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а angle CAD=90circ. На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что BF=BD (точки A и F р
Очень сложная
Планиметрия

Физтех 2024, 10 класс, задача 7

(6 баллов) В треугольнике ABC на медиане AM и биссектрисе CL как на диаметрах построены окружности Ω и ω соответственно, пересекающиеся в точках P и Q. Отрезок PQ параллелен высоте треугольника ABC, проведённой из вершины B. Окружность Ω пересекает сторону AC повторно в точке N. Найдите длины сторон
Очень сложная
Планиметрия

Физтех 2023, 10 класс, задача 7

(6 баллов) Треугольник ABC вписан в окружность. Пусть M - середина той дуги AB описанной окружности, которая не содержит точку C; N - середина той дуги AC описанной окружности, которая не содержит точку B. Найдите расстояние от вершины A до центра окружности, вписанной в треугольник ABC, если рассто
Очень сложная
Планиметрия