Физтех 2025, 10 класс, задача 3

( баллов) Окружность с диаметром пересекает сторону остроугольного треугольника
в точке Точка выбрана на отрезке так, что а — точка пересечения
отрезка с окружностью отличная от Найдите если

Ответ

Ответ. .

Рисунок к решению задачи 3

Решение. Углы и равны как вписанные в окружность и опирающиеся на дугу . Кроме того, .
Значит, (обозначим этот угол через ). Но тогда треугольники , , — прямоугольные и имеют равные острые углы, следовательно, они подобны.
Из треугольника получаем, что . Далее находим:

Значит, .

Похожие задачи

Физтех 2025, 11 класс, задача 5

(5 баллов) Точка O — центр окружности ω₁, описанной около остроугольного треугольника ABC. Окружность ω₂, описанная около треугольника BOC, пересекает отрезок AB в точке P. Найдите площадь треугольника ABC, если AP=dfrac{15}{2}, BP=5, AC=9.

Очень сложная

Планиметрия

Физтех 2023, 11 класс, задача 7

(6 баллов) В пирамиде SABC медианы AA₁, BB₁, CC₁ основания ABC пересекаются в точке M. Сфера Ω касается ребра AS в точке L и плоскости основания в точке K, лежащей на отрезке AM. Сфера Ω пересекает прямую SM в точках P и Q, причём SP=MQ. Известно, что площадь треугол

Очень сложная

Планиметрия

Физтех 2024, 11 класс, задача 4

(5 баллов) Две окружности ω₁ и ω₂ пересекаются в точках A и B, а их общая касательная имеет с ω₁ и ω₂ общие точки C и D соответственно, причём точка B расположена ближе к прямой CD, чем точка A. Луч CB пересекает ω₂ в точках B и E. Найдите отнош

Очень сложная

Планиметрия

Физтех 2025, 11 класс, задача 7

(6 баллов) Шар Ω касается всех рёбер правильной усечённой пирамиды, а шар ω касается всех её граней. Пусть сторона верхнего основания меньше, чем сторона нижнего. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади её нижнего основания.

Очень сложная

Планиметрия