Физтех 2025, 10 класс, задача 3

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2025, 10 класс

( баллов) Окружность с диаметром пересекает сторону остроугольного треугольника
в точке Точка выбрана на отрезке так, что а — точка пересечения
отрезка с окружностью отличная от Найдите если

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ. .

Рисунок к решению задачи 3

Решение. Углы и равны как вписанные в окружность и опирающиеся на дугу . Кроме того, .
Значит, (обозначим этот угол через ). Но тогда треугольники , , — прямоугольные и имеют равные острые углы, следовательно, они подобны.
Из треугольника получаем, что . Далее находим:

Значит, .

Похожие задачи

Физтех 2025, 11 класс, задача 5

(5 баллов) Точка O — центр окружности ω1, описанной около остроугольного треугольника ABC. Окружность ω2, описанная около треугольника BOC, пересекает отрезок AB в точке P. Найдите площадь треугольника ABC, если AP=dfrac{15}{2}, BP=5, AC=9.
Очень сложная
Планиметрия

Физтех 2024, 11 класс, задача 4

(5 баллов) Две окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках A и B, а их общая касательная имеет с ω1 и ω2 общие точки C и D соответственно, причём точка B расположена ближе к прямой CD, чем точка A. Луч CB пересекает ω2 в точках B и E. Найдите отнош
Очень сложная
Планиметрия

Физтех 2025, 11 класс, задача 7

(6 баллов) Шар Ω касается всех рёбер правильной усечённой пирамиды, а шар ω касается всех её граней. Пусть сторона верхнего основания меньше, чем сторона нижнего. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади её нижнего основания.
Очень сложная
Планиметрия

Физтех 2024, 10 класс, задача 4

(5 баллов) Прямая, параллельная биссектрисе AX треугольника ABC, проходящая через середину M его стороны BC, пересекает сторону AB и продолжение стороны AC в точках Z и Y соответственно. Найдите BC, если AC=18, AZ=6, YZ=8.
Очень сложная
Планиметрия