Физтех 2024, 10 класс, задача 4

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2024, 10 класс

( баллов) Прямая, параллельная биссектрисе треугольника , проходящая через середину его стороны , пересекает сторону и продолжение стороны в точках и соответственно. Найдите , если , , .

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ. .

Рисунок к решению задачи 4

Решение. Обозначим . Тогда ; за счёт параллельности и получаем , .

Пусть - средняя линия треугольника , параллельная стороне . Тогда . В треугольниках и есть по два угла, равных . Значит, они оба равнобедренные и подобны друг другу. Из треугольника находим, что .

Заметим также, что (внешний угол треугольника ), ; . Кроме того, . По теореме косинусов для треугольника получаем

Отсюда .

Похожие задачи

Физтех 2024, 11 класс, задача 4

(5 баллов) Две окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках A и B, а их общая касательная имеет с ω1 и ω2 общие точки C и D соответственно, причём точка B расположена ближе к прямой CD, чем точка A. Луч CB пересекает ω2 в точках B и E. Найдите отнош
Очень сложная
Планиметрия

Физтех 2025, 10 класс, задача 7

(6 баллов) На гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC выбраны точки P и Q так, что AB = BP, AC = CQ. Внутри треугольника ABC выбрана точка D для которой DP = DQ а angle P DQ = 90circ. Найдите angle DBC если известно, что angle DCB = 20circ.
Очень сложная
Планиметрия

Физтех 2020, 11 класс, задача 4

Сфера с центром O вписана в трёхгранный угол с вершиной S и касается его граней в точках K, L, M (все плоские углы трёхгранного угла различны). Найдите угол KSO и площадь сечения данного трёхгранного угла плоскостью KLM, если известно, что площади сечений трёхгранного угла плоскостями, касающимися с
Очень сложная
Планиметрия

Физтех 2023, 10 класс, задача 7

(6 баллов) Треугольник ABC вписан в окружность. Пусть M - середина той дуги AB описанной окружности, которая не содержит точку C; N - середина той дуги AC описанной окружности, которая не содержит точку B. Найдите расстояние от вершины A до центра окружности, вписанной в треугольник ABC, если рассто
Очень сложная
Планиметрия