Физтех 2023, 10 класс, задача 7
( баллов) Треугольник вписан в окружность. Пусть - середина той дуги описанной окружности, которая не содержит точку ; - середина той дуги описанной окружности, которая не содержит точку . Найдите расстояние от вершины до центра окружности, вписанной в треугольник , если расстояния от точек и до сторон и соответственно равны и .
Ответ. .
Решение. Пусть отрезок пересекает стороны и в точках и соответственно; - центр вписанной окружности треугольника; и - проекции точек и на стороны и соответственно. Обозначим также точку пересечения прямых и через .
Углы и равны как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги; аналогично . По теореме о внешнем угле треугольника , а , поэтому . Значит, треугольник равнобедренный, - его биссектриса, следовательно, .
Далее рассмотрим три пары подобных треугольников и запишем пропорциональность сторон в них:
Разделив второе равенство на третье, получаем
Но из первого равенства следует, что , откуда .
Остаётся отметить, что (так как эти углы опираются на равные дуги), поэтому - биссектриса угла . Значит, в отрезок - биссектриса и высота, треугольник равнобедренный, а также является его медианой и . Итак, .