Физтех 2024, 11 класс, задача 7
( баллов) В основании призмы лежит равносторонний треугольник площади . Площади её боковых граней равны , и . Найдите объём призмы.
Ответ. .
Решение. Заметим, что призма не может быть прямой: иначе все её боковые грани имели бы равные площади. Так как в основании призмы лежит равносторонний треугольник площади , его сторона равна .
Пусть грани и имеют площадь . Эти грани имеют равные площади, а их основания и также равны. Следовательно, высоты и этих граней равны между собой. Пусть - высота призмы. Так как равные наклонные имеют равные проекции, отрезки и равны между собой. Значит, точка равноудалена от прямых и .
Рассмотрим два возможных случая.
1) Точка лежит на прямой, содержащей биссектрису внутреннего угла треугольника . По теореме о трёх перпендикулярах , следовательно, , то есть грань - прямоугольник. Тогда , откуда следует, что - противоречие. Значит, этот случай невозможен.
2) Точка лежит на прямой, содержащей биссектрису внешнего угла треугольника . Тогда и . Но , следовательно, и высота параллелограмма совпадает с высотой призмы и равна .
Так как площадь основания призмы равна , её объём есть . Несложно понять, что такая призма существует.