Физтех 2024, 10 класс, задача 7
( баллов) В треугольнике на медиане и биссектрисе как на диаметрах построены окружности и соответственно, пересекающиеся в точках и . Отрезок параллелен высоте треугольника , проведённой из вершины . Окружность пересекает сторону повторно в точке . Найдите длины сторон и , если , .
Ответ. .
Решение. Пусть - точка пересечения и , и - середины этих отрезков соответственно. Тогда , откуда . Треугольники и подобны по двум углам.
Обозначим , , . Тогда , . Поскольку и - середины и , , , а значит, , и треугольники и подобны, откуда .
Следовательно, - середина стороны , отрезок является в треугольнике медианой и биссектрисой, поэтому треугольник равнобедренный ().
Пусть окружность пересекает сторону в точке , а сторону вторично пересекает в точке . Угол прямой, поскольку - диаметр окружности, поэтому - средняя линия треугольника . Отсюда .
Пусть , . Тогда , и по теореме о двух секущих получаем
Из первого равенства следует, что . Подставляя во второе равенство, имеем . Отсюда . Но так как , подходит только .