Физтех 2020, 11 класс, задача 4
Сфера с центром вписана в трёхгранный угол с вершиной и касается его граней в точках , , (все плоские углы трёхгранного угла различны). Найдите угол и площадь сечения данного трёхгранного угла плоскостью , если известно, что площади сечений трёхгранного угла плоскостями, касающимися сферы и перпендикулярными прямой , равны и .
Ответ. , .
Решение. Обозначим точки пересечения прямой со сферой через и (точка лежит на отрезке , а - вне него). Пусть радиус сферы равен . Треугольники , и прямоугольные (углы при вершинах , , прямые, так как касательные перпендикулярны радиусам, проведённым в точку касания). Эти треугольники равны по катету и гипотенузе (, - общая), следовательно,
Пусть , . Высоты, опущенные из точек , , на гипотенузу , равны, а их основания - одна и та же точка , лежащая в плоскости (назовём эту плоскость ).
Пусть и - касательные плоскости к сфере, проходящие через точки и , а и - точки пересечения этих плоскостей с прямой . По условию площади сечений трёхгранного угла этими плоскостями равны соответственно и .
Рассмотрим сечение трёхгранного угла и сферы плоскостью . Так как и , то . Тогда сечения трёхгранного угла плоскостями , и - подобные треугольники, плоскости которых параллельны (все они перпендикулярны ).
Если - площадь треугольника, получающегося в сечении трёхгранного угла плоскостью , то из подобия
Следовательно,
Тогда
откуда
Отсюда .
Далее
Значит,
Откуда