1. Олимпиады

Олимпиаде школьников «Физтех»

Сайт олимпиады
Организатор — «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)»

11 класс

Заключительный этап

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Физтех 2020, 11 класс, задача 1

Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр каждого из которых равно 3375. Ответ необходимо представить в виде целого числа.
Очень сложная
Комбинаторика

Физтех 2020, 11 класс, задача 2

Решите уравнение cos 11x-cos 3x-sin 11x+sin 3x=√2cos 14x.
Очень сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2020, 11 класс, задача 3

Решите систему уравнений
Очень сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2020, 11 класс, задача 4

Сфера с центром O вписана в трёхгранный угол с вершиной S и касается его граней в точках K, L, M (все плоские углы трёхгранного угла различны). Найдите угол KSO и площадь сечения данного трёхгранного угла плоскостью KLM, если известно, что площади сечений трёхгранного угла плоскостями, касающимися с
Очень сложная
Планиметрия

Физтех 2020, 11 класс, задача 5

Найдите все значения параметра a, при которых система имеет ровно два решения.
Очень сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2020, 11 класс, задача 6

а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй - точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а angle CAD=90circ. На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что BF=BD (точки A и F р
Очень сложная
Планиметрия

Физтех 2020, 11 класс, задача 7

Найдите количество пар целых чисел (x,y), удовлетворяющих системе неравенств Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более двух слагаемых.
Очень сложная
Комбинаторика

10 класс

Заключительный этап

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Физтех 2020, 10 класс, задача 1

(4 баллов) Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 700. Ответ необходимо представить в виде целого числа.
Сложная
Комбинаторика

Физтех 2020, 10 класс, задача 2

(4 баллов) Дана геометрическая прогрессия b1,b2,ldots,b3000, все члены которой положительны, а их сумма равна S. Известно, что если все её члены с номерами, кратными 3 (т.е. b3,b6,ldots,b3000), увеличить в 50 раз, сумма S увеличится в
Сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2020, 10 класс, задача 3

(4 баллов) Решите уравнение ((x/√(2))+3√2)√(x3-4x+80)=x2+10x+24.
Сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2020, 10 класс, задача 4

(6 баллов) Решите неравенство 2x4+x2-4x-3x2|x-2|+4ge0.
Сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2020, 10 класс, задача 5

(5 баллов) По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке (0;0). Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В на
Сложная
Теория чисел
Планиметрия

Физтех 2020, 10 класс, задача 6

(6 баллов) а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй - точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а angle CAD=90circ. На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что BF=BD (то
Сложная
Планиметрия

Физтех 2020, 10 класс, задача 7

(6 баллов) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет ровно два решения.
Сложная
Выражения и преобразования

9 класс

Заключительный этап

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Физтех 2020, 9 класс, задача 1

(4 баллов) На столе лежит кусочек сахара, вокруг которого по двум окружностям с одной и той же скоростью ползают муравей и жук. На плоскости стола введена прямоугольная система координат, в которой сахар (общий центр окружностей) находится в точке O(0;0). Муравей двигается по часовой стрелке, а жук
Сложная
Теория чисел
Планиметрия

Физтех 2020, 9 класс, задача 2

(4 баллов) Найдите все пары действительных параметров a и b, при каждой из которых система уравнений имеет бесконечно много решений.
Сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2020, 9 класс, задача 3

(4 баллов) Решите уравнение (x+3)√(x3-x+10)=x2+5x+6.
Сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2020, 9 класс, задача 4

(6 баллов) Решите неравенство 2x4+x2-2x-3x2|x-1|+1ge0.
Сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2020, 9 класс, задача 5

(4 баллов) Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 1400. Ответ необходимо представить в виде целого числа.
Сложная
Комбинаторика

Физтех 2020, 9 класс, задача 6

(5 баллов) Две окружности одинакового радиуса 9 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй - точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а angle CAD=90circ. На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что BF=BD (точки
Сложная
Планиметрия

Физтех 2020, 9 класс, задача 7

(6 баллов) Решите систему
Сложная
Выражения и преобразования