Физтех 2020, 11 класс, задача 7

Очень сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2020, 11 класс

Найдите количество пар целых чисел , удовлетворяющих системе неравенств

Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более двух слагаемых.

Ответ. .

Решение. Пусть

В силу того, что выпукла вниз, а - линейная, графики функций и могут иметь не более двух общих точек. Координаты обеих точек легко подобрать. Действительно,

На промежутке график лежит ниже графика . Поэтому система имеет целочисленные решения только при целых (так как первое неравенство системы строгое, точки пересечения графиков не являются решениями системы).

Заметим, что на отрезке графики функций и лежат выше оси . Поэтому искомое количество целочисленных точек мы получим, если из количества целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком на отрезке , вычтем количество целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком на отрезке . При этом мы учтём, что первое неравенство системы строгое, а второе - нет.

Найдём . Так как на отрезке лежат

целочисленные точки, то

Найдём . Имеем:

Искомое количество равно

Похожие задачи

Физтех 2023, 11 класс, задача 6

(5 баллов) На координатной плоскости дан параллелограмм с вершинами в точках O(0;0), P(-14;42), Q(6;42) и R(20;0). Найдите количество пар точек A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂) с целыми координатами, лежащих в этом параллелограмме (возможно, на границе) и таких, что 3x

Очень сложная

Комбинаторика

Физтех 2024, 10 класс, задача 6

(4 баллов) На тетрадном листе нарисован квадрат 8 × 8 клеток (стороны квадрата идут вдоль границ клеток), а все узлы сетки внутри квадрата или на его границе покрашены в чёрный цвет. Найдите количество способов перекрасить два узла в белый цвет, если раскраски, получающиеся друг из друга поворотом,

Очень сложная

Выражения и преобразования

Комбинаторика

Физтех 2025, 11 класс, задача 4

(4 баллов) В начале месяца было выделено 4 билета на праздничный концерт, которые планировалось случайным образом распределить между одиннадцатиклассниками. В конце месяца выяснилось, что будет выделено больше 4 билетов. Одиннадцатиклассники Петя и Вася вычислили, что вероятность им обоим вместе поп

Очень сложная

Комбинаторика

Физтех 2024, 11 класс, задача 5

(4 баллов) Дан клетчатый прямоугольник 100 × 400. Сколькими способами можно закрасить 8 клеток этого прямоугольника так, чтобы закрашенное множество обладало хотя бы одной из следующих симметрий: относительно центра прямоугольника, относительно любой из двух «средних линий» прямоугольника («средней

Очень сложная

Комбинаторика