Физтех 2025, 11 класс, задача 4
( баллов) В начале месяца было выделено билета на праздничный концерт, которые планировалось случайным образом распределить между одиннадцатиклассниками. В конце месяца
выяснилось, что будет выделено больше билетов. Одиннадцатиклассники Петя и Вася вычислили, что вероятность им обоим вместе попасть на концерт в начале месяца была в раза
меньше, чем оказалась в конце месяца. Сколько всего было выделено билетов на концерт в
конце месяца, если количество одиннадцатиклассников не изменилось?
Ответ. .
Решение. Пусть всего одиннадцатиклассников человек, а в конце месяца будет выделено билетов. Количество способов распределить билета между учениками в начале месяца равно , а количество способов распределения билетов, когда Петя и Вася попадают на концерт, равно (Петя и Вася получают билеты, а ещё два билета распределяются между оставшимися учениками). Значит, вероятность обоим ученикам попасть на концерт в начале месяца была равна
Аналогично получаем, что вероятность, что Петя и Коля оба попадут на концерт в конце месяца, равна
Следовательно, вероятность увеличилась в раз (эта величина не зависит от ). Отсюда получаем, что . Это уравнение имеет единственный положительный корень .