Физтех 2020, 11 класс, задача 1

Очень сложная
Комбинаторика
Источник:
Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2020, 11 класс

Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр каждого из которых равно . Ответ необходимо представить в виде целого числа.

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ. .

Решение. Ввиду того, что

искомые числа могут состоять из следующих цифр: а) три тройки, три пятёрки и две единицы или б) тройка, девятка, три пятёрки и три единицы.

Вычислим количество вариантов в каждом случае.

а) Сначала выбираем три места из восьми для расположения троек:

Затем три места из пяти оставшихся для размещения пятёрок:

Наконец, оставшиеся места занимают единицы. По правилу произведения выходит

способов.

б) Рассуждая аналогично, находим, что количество способов в этом случае равно

Окончательно получаем

способов.

Похожие задачи

Физтех 2024, 11 класс, задача 5

(4 баллов) Дан клетчатый прямоугольник 100 × 400. Сколькими способами можно закрасить 8 клеток этого прямоугольника так, чтобы закрашенное множество обладало хотя бы одной из следующих симметрий: относительно центра прямоугольника, относительно любой из двух «средних линий» прямоугольника («средней
Очень сложная
Комбинаторика

Физтех 2025, 11 класс, задача 4

(4 баллов) В начале месяца было выделено 4 билета на праздничный концерт, которые планировалось случайным образом распределить между одиннадцатиклассниками. В конце месяца выяснилось, что будет выделено больше 4 билетов. Одиннадцатиклассники Петя и Вася вычислили, что вероятность им обоим вместе поп
Очень сложная
Комбинаторика

Физтех 2024, 10 класс, задача 6

(4 баллов) На тетрадном листе нарисован квадрат 8 × 8 клеток (стороны квадрата идут вдоль границ клеток), а все узлы сетки внутри квадрата или на его границе покрашены в чёрный цвет. Найдите количество способов перекрасить два узла в белый цвет, если раскраски, получающиеся друг из друга поворотом,
Очень сложная
Выражения и преобразования
Комбинаторика

Физтех 2023, 10 класс, задача 5

(5 баллов) На координатной плоскости дан параллелограмм с вершинами в точках O(0;0), P(-12;24), Q(3;24) и R(15;0). Найдите количество пар точек A(x1;y1) и B(x2;y2) с целыми координатами, лежащих в этом параллелограмме (возможно, на границе) и таких, что 2x
Очень сложная
Комбинаторика