Физтех 2023, 10 класс, задача 5
( баллов) На координатной плоскости дан параллелограмм с вершинами в точках , , и . Найдите количество пар точек и с целыми координатами, лежащих в этом параллелограмме (возможно, на границе) и таких, что .
Ответ. .
Решение. Запишем исходное условие на координаты точек и в виде . Так как координаты точек и являются целыми числами, то левая и правая части этого равенства могут принимать только целочисленные значения .
Пара точек , с целочисленными координатами удовлетворяет условию тогда и только тогда, когда они лежат на параллельных прямых и соответственно. Далее найдём подходящие значения параметра .
Стороны и параллелограмма лежат на прямых и , поэтому они параллельны прямым и . Эти прямые пересекают параллелограмм при и , поэтому .
Выясним количество точек с целочисленными координатами на каждой из прямых вида . Если чётное (т. е. ), то получаем прямую . При любом целом получится целое значение , а чтобы точка оказалась внутри параллелограмма нужно, чтобы . При любом этому неравенству удовлетворяет целых значений . Если нечётное, то есть , имеем . Учитывая, что , получаем - всего целочисленных значений.
Если (таких значений ), то на каждой из двух прямых и можно выбрать по точек - всего способов. Если (таких значений ), то на каждой из двух прямых можно выбрать по точек - имеем способов. Итого получаем способов.