(4 баллов) Натуральные числа a, b, c таковы, что ab делится на 29 310510, bc делится на 214313513, ac делится на 219318530. Найдите наименьшее возможное значение произведения abc.
Очень сложная
Теория чисел
Физтех 2023, 11 класс, задача 2
(5 баллов) Дан прямоугольный треугольник ABC. Окружность, касающаяся прямой BC в точке B, пересекает высоту CD, проведённую к гипотенузе, в точке F, а катет AC - в точке E. Известно, что ABparallel EF, AD:DB=3:1. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника CEF.
(5 баллов) Найдите все значения параметра a, для каждого из которых найдётся значение параметра b, при котором система уравнений имеет ровно 4 решения.
Очень сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2023, 11 класс, задача 5
(5 баллов) Некоторые числа x и y удовлетворяют равенствам log34x+6logx3=logx2243-8 и log34(5y)+2log5y3=log25y2(311)-8. Найдите все возможные значения произведения xy.
Очень сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2023, 11 класс, задача 6
(5 баллов) На координатной плоскости дан параллелограмм с вершинами в точках O(0;0), P(-14;42), Q(6;42) и R(20;0). Найдите количество пар точек A(x1;y1) и B(x2;y2) с целыми координатами, лежащих в этом параллелограмме (возможно, на границе) и таких, что 3x
Очень сложная
Комбинаторика
Физтех 2023, 11 класс, задача 7
(6 баллов) В пирамиде SABC медианы AA1, BB1, CC1 основания ABC пересекаются в точке M. Сфера Ω касается ребра AS в точке L и плоскости основания в точке K, лежащей на отрезке AM. Сфера Ω пересекает прямую SM в точках P и Q, причём SP=MQ. Известно, что площадь треугол
(4 баллов) Натуральные числа a, b, c таковы, что ab делится на 214710, bc делится на 217717, ac делится на 220737. Найдите наименьшее возможное значение произведения abc.
Очень сложная
Теория чисел
Физтех 2023, 10 класс, задача 2
(4 баллов) Известно, что дробь dfrac ab несократима (a∈mathbb N, b∈mathbb N). На доске записана дробь dfrac{a+b}{a2-6ab+b2}. При каком наибольшем m могло оказаться, что дробь сократима на m?
Очень сложная
Теория чисел
Физтех 2023, 10 класс, задача 3
(4 баллов) Центр окружности ω лежит на окружности Ω, хорда AB окружности Ω касается ω в точке C. Известно, что AC:CB=7, а радиусы окружностей равны 1 и 5. Найдите AB.
(5 баллов) На координатной плоскости дан параллелограмм с вершинами в точках O(0;0), P(-12;24), Q(3;24) и R(15;0). Найдите количество пар точек A(x1;y1) и B(x2;y2) с целыми координатами, лежащих в этом параллелограмме (возможно, на границе) и таких, что 2x
Очень сложная
Комбинаторика
Физтех 2023, 10 класс, задача 6
(5 баллов) Найдите все значения параметра a, для каждого из которых найдётся значение параметра b, при котором система имеет ровно 2 решения.
Очень сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2023, 10 класс, задача 7
(6 баллов) Треугольник ABC вписан в окружность. Пусть M - середина той дуги AB описанной окружности, которая не содержит точку C; N - середина той дуги AC описанной окружности, которая не содержит точку B. Найдите расстояние от вершины A до центра окружности, вписанной в треугольник ABC, если рассто
(4 баллов) Натуральные числа a, b, c таковы, что ab делится на 311711, bc делится на 318716, ac делится на 321738. Найдите наименьшее возможное значение произведения abc.
Сложная
Теория чисел
Физтех 2023, 9 класс, задача 2
(4 баллов) Известно, что дробь dfrac ab несократима (a∈mathbb N, b∈mathbb N). На доске записана дробь dfrac{a+b}{a2-8ab+b2}. При каком наибольшем m могло оказаться, что дробь сократима на m?
(4 баллов) Центр окружности ω лежит на окружности Ω, диаметр AB окружности Ω касается ω в точке C так, что AC=1 и BC=16. Найдите длину общей касательной к окружностям ω и Ω.
Сложная
Планиметрия
Физтех 2023, 9 класс, задача 5
(4 баллов) Ненулевые действительные числа x, y, z удовлетворяют равенствам 3x+2y=z и dfrac3x+dfrac1y=dfrac2z. Найдите наибольшее возможное значение выражения dfrac{3x2-4y2-z2}{x2-6y2}.
Сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2023, 9 класс, задача 6
(5 баллов) Из пункта A в пункт B выезжают одновременно велосипедист и мотоциклист. Оба они движутся с постоянной скоростью, и мотоциклист прибывает в пункт B на 2 часа раньше велосипедиста. Если бы велосипедист ехал со своей скоростью в течение того времени, что понадобилось мотоциклисту на дорогу о
Сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2023, 9 класс, задача 7
(6 баллов) Вписанная окружность ω прямоугольного треугольника ABC с прямым углом B касается его сторон CA, AB, BC в точках D, E, F соответственно. Луч ED пересекает прямую, перпендикулярную BC, проходящую через вершину C, в точке Y; X - вторая точка пересечения прямой FY с окружностью ω. Известно, ч
