Физтех 2023, 10 класс, задача 3
( баллов) Центр окружности лежит на окружности , хорда окружности касается в точке . Известно, что , а радиусы окружностей равны и . Найдите .
Ответ. .
Решение. Пусть точки и - центры и соответственно, а точки и - проекции точки на прямые и соответственно. Так как касается прямой в точке , то ; тогда в четырёхугольнике три угла прямые, и он прямоугольник.
Обозначим , . Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам, поэтому - середина ; тогда , и .
Запишем теорему Пифагора для треугольников и и решим полученную систему уравнений:
Последнее уравнение имеет одно положительное решение ; отсюда и .