Физтех 2023, 9 класс, задача 7
( баллов) Вписанная окружность прямоугольного треугольника с прямым углом касается его сторон , , в точках , , соответственно. Луч пересекает прямую, перпендикулярную , проходящую через вершину , в точке ; - вторая точка пересечения прямой с окружностью . Известно, что . Найдите отношение .
Ответ. .
Решение. Пусть , , . Поскольку , то треугольники и подобны по двум углам. Так как треугольник равнобедренный, то и треугольник равнобедренный, . Тогда треугольник - равнобедренный прямоугольный, как и треугольник , .
Следовательно, треугольник - равнобедренный прямоугольный с катетом и гипотенузой . Далее, . По условию . Итак, , откуда .
По теореме Пифагора для треугольника имеем
Подставляя в это равенство , раскрывая скобки и приводя подобные члены, находим, что либо , что невозможно, либо . Отсюда