Физтех 2025, 9 класс, задача 7

Сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2025, 9 класс

( баллов) На сторонах и треугольника выбраны точки и соответственно так, что . Найдите , если известно, что .

Ответ. .

Рисунок к решению задачи 7

Решение. Отметим на продолжении отрезка за точку точку такую, что . Тогда , и данное в условии равенство можно переписать так:

Отсюда по теореме о пропорциональных отрезках следует, что . Значит, , но тогда в треугольнике равны углы при вершинах и , то есть этот треугольник равнобедренный. Его медиана является также высотой.
Значит, , .

Похожие задачи

Физтех 2021, 10 класс, задача 5

(5 баллов) На плоскости с заданной прямоугольной декартовой системой координат нарисован квадрат с вершинами в точках (0;0), (0;59), (59;59) и (59;0). Найдите количество способов выбрать два узла сетки внутри этого квадрата (не включая его границу) так, чтобы хотя бы один из этих узлов лежал на одно

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика

Физтех 2022, 9 класс, задача 4

(5 баллов) Окружность с центром O касается прямых AB и BC в точках A и C соответственно. Высота CH треугольника ABC пересекает эту окружность в точках C и D. Найдите отношение AB:CH, если площадь треугольника ABD равна 6, а радиус окружности равен 4.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, 9 класс, задача 3

(5 баллов) На стороне BC треугольника ABC отмечены точки M и N так, что BM=MN=NC. Прямая, параллельная AN и проходящая через точку M, пересекает продолжение стороны AC за точку A в такой точке D, что AB=CD. Найдите AB, если BC=12, cos(2angle CAN)=-dfrac14.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2020, 10 класс, задача 6

(6 баллов) а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй - точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а angle CAD=90^circ. На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что BF=BD (то

Сложная

Планиметрия