Физтех 2025, 9 класс, задача 7

( баллов) На сторонах и треугольника выбраны точки и соответственно так, что . Найдите , если известно, что .

Ответ

Ответ. .

Рисунок к решению задачи 7

Решение. Отметим на продолжении отрезка за точку точку такую, что . Тогда , и данное в условии равенство можно переписать так:

Отсюда по теореме о пропорциональных отрезках следует, что . Значит, , но тогда в треугольнике равны углы при вершинах и , то есть этот треугольник равнобедренный. Его медиана является также высотой.
Значит, , .

Похожие задачи

Физтех 2021, 10 класс, задача 5

(5 баллов) На плоскости с заданной прямоугольной декартовой системой координат нарисован квадрат с вершинами в точках (0;0), (0;59), (59;59) и (59;0). Найдите количество способов выбрать два узла сетки внутри этого квадрата (не включая его границу) так, чтобы хотя бы один из этих узлов лежал на одно

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика

Физтех 2022, 11 класс, задача 7

(6 баллов) Дана пирамида ABCD, вершина A которой лежит на одной сфере с серединами всех её рёбер, кроме ребра AD. Известно, что AB=1, BD=2, CD=3. Найдите длину ребра BC. Какой наименьший радиус может иметь сфера, описанная около данной пирамиды?

Сложная

Планиметрия

Физтех 2022, 9 класс, задача 4

(5 баллов) Окружность с центром O касается прямых AB и BC в точках A и C соответственно. Высота CH треугольника ABC пересекает эту окружность в точках C и D. Найдите отношение AB:CH, если площадь треугольника ABD равна 6, а радиус окружности равен 4.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2022, 10 класс, задача 5

(5 баллов) Окружности Ω и ω касаются в точке A внутренним образом. Отрезок AB - диаметр большей окружности Ω, а хорда BC окружности Ω касается ω в точке D. Луч AD повторно пересекает Ω в точке E. Найдите радиусы окружностей и площадь четырёхугольника BACE, если известно, что CD=1, BD=3.

Сложная

Планиметрия