Физтех 2020, 10 класс, задача 6

Сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2020, 10 класс

( баллов) а) Две окружности одинакового радиуса пересекаются в точках и . На первой окружности выбрана точка , а на второй - точка . Оказалось, что точка лежит на отрезке , а . На перпендикуляре к , проходящем через точку , выбрана точка так, что (точки и расположены по одну сторону от прямой ). Найдите длину отрезка .

б) Пусть дополнительно известно, что . Найдите площадь треугольника .

Ответ. а) ; б) .

Рисунок к решению

Решение. а) Пусть - радиусы данных в условии окружностей, , . Тогда

По теореме синусов

Значит,

откуда .

б) Так как

то . Заметим, что

поэтому . Далее, углы и вписаны в равные окружности и опираются на одну и ту же хорду , поэтому они равны, и из прямоугольного треугольника находим, что

Тогда

поэтому

Итак,

Похожие задачи

Физтех 2021, 11 класс, задача 3

(7 баллов) Пусть M - фигура на декартовой плоскости, состоящая из всех точек (x;y) таких, что существует пара вещественных чисел a, b, при которых выполняется система неравенств Найдите площадь фигуры M.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2023, 9 класс, задача 4

(4 баллов) Центр окружности ω лежит на окружности Ω, диаметр AB окружности Ω касается ω в точке C так, что AC=1 и BC=16. Найдите длину общей касательной к окружностям ω и Ω.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, 9 класс, задача 7

(6 баллов) На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что angle MNB=angle ANC=80^circ. Найдите angle CAN, если известно, что BN · MA=2BM · NC.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2022, 10 класс, задача 4

(5 баллов) а) В прямоугольном треугольнике ABC на катете AC и гипотенузе AB отмечены точки D и E соответственно, такие что AD:AC=3:5 и DEperp AB. Найдите тангенс угла BAC, если известно, что angle CED=45^circ. б) Пусть дополнительно известно, что AC=√(29). Найдите площадь треугольника CED.

Сложная

Планиметрия