Физтех 2023, 9 класс, задача 4

Сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2023, 9 класс

( баллов) Центр окружности лежит на окружности , диаметр окружности касается в точке так, что и . Найдите длину общей касательной к окружностям и .

Ответ. .

Рисунок к решению задачи 4

Решение. Обозначим центры окружности и как и , а их радиусы - как и соответственно. Из условия . Тогда , и из треугольника находим

Пусть - общая касательная к окружностям и , и - её точки касания с окружностями и . В прямоугольной трапеции известны основания , и боковая сторона . Чтобы найти вторую боковую сторону , опускаем из точки перпендикуляр на основание . Так как - прямоугольник, то его противоположные стороны равны. Значит,

Похожие задачи

Физтех 2023, 9 класс, задача 7

(6 баллов) Вписанная окружность ω прямоугольного треугольника ABC с прямым углом B касается его сторон CA, AB, BC в точках D, E, F соответственно. Луч ED пересекает прямую, перпендикулярную BC, проходящую через вершину C, в точке Y; X - вторая точка пересечения прямой FY с окружностью ω. Известно, ч

Сложная

Планиметрия

Физтех 2021, 11 класс, задача 6

(7 баллов) Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω с центром O. Окружность, проходящая через точки A, O и C, пересекает отрезок BC в точке P. Касательные к ω, проведённые через точки A и C, пересекаются в точке T. Отрезок TP пересекает сторону AC в точке K. Известно, что площади треуголь

Сложная

Планиметрия

Физтех 2021, 10 класс, задача 1

(5 баллов) Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC. Окружность с диаметром BD пересекает стороны AB и BC в точках P и T соответственно. Точки M и N - середины отрезков AD и CD соответственно. Известно, что PMparallel TN. а) Найдите угол ABC. б) Пусть дополнительно известно, что MP=frac12, NT=fr

Сложная

Планиметрия

Физтех 2022, 9 класс, задача 4

(5 баллов) Окружность с центром O касается прямых AB и BC в точках A и C соответственно. Высота CH треугольника ABC пересекает эту окружность в точках C и D. Найдите отношение AB:CH, если площадь треугольника ABD равна 6, а радиус окружности равен 4.

Сложная

Планиметрия