Физтех 2023, 9 класс, задача 4

( баллов) Центр окружности лежит на окружности , диаметр окружности касается в точке так, что и . Найдите длину общей касательной к окружностям и .

Ответ

Ответ. .

Рисунок к решению задачи 4

Решение. Обозначим центры окружности и как и , а их радиусы - как и соответственно. Из условия . Тогда , и из треугольника находим

Пусть - общая касательная к окружностям и , и - её точки касания с окружностями и . В прямоугольной трапеции известны основания , и боковая сторона . Чтобы найти вторую боковую сторону , опускаем из точки перпендикуляр на основание . Так как - прямоугольник, то его противоположные стороны равны. Значит,

Похожие задачи

Физтех 2021, 9 класс, задача 3

(6 баллов) На плоскости Oxy даны точка A, координаты (x;y) которой удовлетворяют уравнению 5a²-6ax-2ay+2x²+2xy+y²=0, и окружность с центром в точке B, заданная уравнением a²x²+a²y²-8a²x-2a³y+12ay+a

Сложная

Выражения и преобразования

Планиметрия

Физтех 2020, 10 класс, задача 5

(5 баллов) По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке (0;0). Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В на

Сложная

Теория чисел

Планиметрия

Физтех 2023, 9 класс, задача 7

(6 баллов) Вписанная окружность ω прямоугольного треугольника ABC с прямым углом B касается его сторон CA, AB, BC в точках D, E, F соответственно. Луч ED пересекает прямую, перпендикулярную BC, проходящую через вершину C, в точке Y; X - вторая точка пересечения прямой FY с окружностью ω. Известно, ч

Сложная

Планиметрия

Физтех 2021, 11 класс, задача 6

(7 баллов) Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω с центром O. Окружность, проходящая через точки A, O и C, пересекает отрезок BC в точке P. Касательные к ω, проведённые через точки A и C, пересекаются в точке T. Отрезок TP пересекает сторону AC в точке K. Известно, что площади треуголь

Сложная

Планиметрия