Физтех 2021, 11 класс, задача 6
( баллов) Остроугольный треугольник вписан в окружность с центром . Окружность, проходящая через точки , и , пересекает отрезок в точке . Касательные к , проведённые через точки и , пересекаются в точке . Отрезок пересекает сторону в точке . Известно, что площади треугольников и равны соответственно и .
а) Найдите площадь треугольника .
б) Пусть дополнительно известно, что . Найдите .
Ответ. а) ; б) .
Решение. Так как прямые и - касательные к , они перпендикулярны радиусам, проведённым в точки касания, и . Отсюда следует, что точки и лежат на окружности с диаметром (назовём эту окружность ). На этой же окружности лежит точка , поскольку она лежит на окружности, проходящей через точки , , . Обозначим . Тогда по свойству угла между хордой и касательной получаем, что . Далее, (углы, вписанные в окружность ). Из того, что , следует, что .
Так как у треугольников и общая высота, проведённая из вершины , их площади относятся как основания, то есть
Треугольники и подобны, поскольку , и коэффициент подобия равен
Но тогда
б) Поскольку острый, то (центральный угол вдвое больше вписанного), (вписанные в углы, опирающиеся на одну дугу). Следовательно, - биссектриса треугольника . Биссектриса треугольника делит противоположную сторону пропорционально двум другим сторонам, поэтому
Пусть ; тогда .
Из дополнительного условия . Следовательно,
Площадь треугольника равна
откуда получаем , . По теореме косинусов из треугольника находим, что
откуда окончательно получаем