Физтех 2020, 9 класс, задача 6

Сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2020, 9 класс

( баллов) Две окружности одинакового радиуса пересекаются в точках и . На первой окружности выбрана точка , а на второй - точка . Оказалось, что точка лежит на отрезке , а . На перпендикуляре к , проходящем через точку , выбрана точка так, что (точки и расположены по разные стороны от прямой ). Найдите длину отрезка .

Ответ. .

Рисунок к решению

Решение. Пусть - радиусы данных в условии окружностей, , . Тогда

По теореме синусов

Значит,

откуда .

Похожие задачи

Физтех 2020, 10 класс, задача 6

(6 баллов) а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй - точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а angle CAD=90^circ. На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что BF=BD (то

Сложная

Планиметрия

Физтех 2021, 11 класс, задача 3

(7 баллов) Пусть M - фигура на декартовой плоскости, состоящая из всех точек (x;y) таких, что существует пара вещественных чисел a, b, при которых выполняется система неравенств Найдите площадь фигуры M.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, 9 класс, задача 5

(5 баллов) Продолжение сторон BC (за точку C) и AD (за точку D) вписанного в окружность четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E. Центр O окружности, вписанной в треугольник ABE, лежит на отрезке CD. Найдите наименьшее возможное значение суммы ED+DO, если известно, что BE=10.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2021, 9 класс, задача 6

(7 баллов) Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, и при этом треугольники BOC и AOD - правильные. Точка T симметрична точке O относительно середины стороны CD. а) Докажите, что ABT - правильный треугольник. б) Пусть дополнительно известно, что BC=2, AD=3. Найдите отношение

Сложная

Планиметрия