Физтех 2024, 9 класс, задача 5
( баллов) Продолжение сторон (за точку ) и (за точку ) вписанного в окружность четырёхугольника пересекаются в точке . Центр окружности, вписанной в треугольник , лежит на отрезке . Найдите наименьшее возможное значение суммы , если известно, что .
Ответ. .
Решение. Так как четырёхугольник вписан в окружность, сумма его противоположных углов составляет , откуда следует, что .
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника, поэтому , а точка лежит на биссектрисе угла . Пусть биссектриса угла пересекает в точке .
Треугольники и подобны по двум углам, откуда
Применяя свойство равных дробей, получаем , следовательно,
Известно, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам. Применяя это свойство к треугольнику и биссектрисе , получаем , откуда .
Окончательно имеем
Таким образом, сумма может принимать одно-единственное значение .