Физтех 2022, 9 класс, задача 4

Сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2022, 9 класс

( баллов) Окружность с центром касается прямых и в точках и соответственно. Высота треугольника пересекает эту окружность в точках и . Найдите отношение , если площадь треугольника равна , а радиус окружности равен .

Ответ. .

Решение. Пусть отрезки и пересекаются в точке . Так как треугольник равнобедренный, а является биссектрисой угла , то биссектриса треугольника является также его медианой и высотой. Пусть . Поскольку , то .

Отметим, что этот угол вписан в окружность и опирается на дугу , поэтому . По теореме об угле между касательной и секущей

Кроме того,

Далее имеем:

Так как по условию площадь треугольника равна , отсюда получаем , и искомое отношение равно .

Похожие задачи

Физтех 2023, 9 класс, задача 7

(6 баллов) Вписанная окружность ω прямоугольного треугольника ABC с прямым углом B касается его сторон CA, AB, BC в точках D, E, F соответственно. Луч ED пересекает прямую, перпендикулярную BC, проходящую через вершину C, в точке Y; X - вторая точка пересечения прямой FY с окружностью ω. Известно, ч

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, 9 класс, задача 4

(5 баллов) На координатной плоскости рассматриваются ромбы с длиной стороны 5 такие, что абсциссы и ординаты всех четырёх вершин каждого ромба — целые числа из промежутка [1;50]. Сколько существует таких ромбов? Напомним, что квадрат также является ромбом.

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика

Физтех 2021, 10 класс, задача 1

(5 баллов) Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC. Окружность с диаметром BD пересекает стороны AB и BC в точках P и T соответственно. Точки M и N - середины отрезков AD и CD соответственно. Известно, что PMparallel TN. а) Найдите угол ABC. б) Пусть дополнительно известно, что MP=frac12, NT=fr

Сложная

Планиметрия

Физтех 2021, 10 класс, задача 6

(7 баллов) Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, и при этом треугольники BOC и AOD - правильные. Точка T симметрична точке O относительно середины стороны CD. а) Докажите, что ABT - правильный треугольник. б) Пусть дополнительно известно, что BC=3, AD=7. Найдите отношение

Сложная

Планиметрия