(3 баллов) Углы α и β удовлетворяют равенствам sin(2α+2β)=-frac1{√5},qquad sin(2α+4β)+sin2α=-frac45. Найдите все возможные значения operatorname{tg}α, если известно, что он определён и что этих значений не меньше трёх.
(5 баллов) Окружности Ω и ω касаются в точке A внутренним образом. Отрезок AB - диаметр большей окружности Ω, а хорда BC окружности Ω касается ω в точке D. Луч AD повторно пересекает Ω в точке E. Прямая, проходящая через точку E перпендикулярно BC, повторно пересекает Ω в точке F. Найдите радиусы ок
Сложная
Планиметрия
Физтех 2022, 11 класс, задача 5
(5 баллов) Функция f определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел a и b из этого множества выполнено равенство f(ab)=f(a)+f(b), и при этом f(p)=[p/4] для любого простого числа p ([x] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x). Найдите количество
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика
Физтех 2022, 11 класс, задача 6
(5 баллов) Найдите все пары чисел (a;b) такие, что неравенство (12x+11/4x+3) le ax+ble -8x2-30x-17 выполнено для всех x на промежутке [-frac{11}4;-frac34).
Сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2022, 11 класс, задача 7
(6 баллов) Дана пирамида ABCD, вершина A которой лежит на одной сфере с серединами всех её рёбер, кроме ребра AD. Известно, что AB=1, BD=2, CD=3. Найдите длину ребра BC. Какой наименьший радиус может иметь сфера, описанная около данной пирамиды?
(2 баллов) Числа a, b, c являются первым, вторым и третьим членами геометрической прогрессии соответственно (числа a, b, c не заданы), а четвёртый член прогрессии является корнем уравнения ax2+2bx+c=0. Найдите третий член прогрессии.
Сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2022, 10 класс, задача 2
(4 баллов) Найдите количество треугольников периметра 1200 с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.
Сложная
Теория чисел
Планиметрия
Комбинаторика
Физтех 2022, 10 класс, задача 3
(4 баллов) Решите систему уравнений
Сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2022, 10 класс, задача 4
(5 баллов) а) В прямоугольном треугольнике ABC на катете AC и гипотенузе AB отмечены точки D и E соответственно, такие что AD:AC=3:5 и DEperp AB. Найдите тангенс угла BAC, если известно, что angle CED=45circ. б) Пусть дополнительно известно, что AC=√(29). Найдите площадь треугольника CED.
Сложная
Планиметрия
Физтех 2022, 10 класс, задача 5
(5 баллов) Окружности Ω и ω касаются в точке A внутренним образом. Отрезок AB - диаметр большей окружности Ω, а хорда BC окружности Ω касается ω в точке D. Луч AD повторно пересекает Ω в точке E. Найдите радиусы окружностей и площадь четырёхугольника BACE, если известно, что CD=1, BD=3.
Сложная
Планиметрия
Физтех 2022, 10 класс, задача 6
(5 баллов) Найдите все пары чисел (a;b) такие, что неравенство 2x2-x-1le ax+ble x+|2x-1| выполнено для всех x на промежутке [-frac14;frac32].
Сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2022, 10 класс, задача 7
(5 баллов) Функция f определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел a и b из этого множества выполнено равенство f(ab)=f(a)+f(b), и при этом f(p)=[p/2] для любого простого числа p ([x] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x). Найдите количество
(3 баллов) Решите неравенство (x2-6x+10-2|x-3|/2x2-4x+|x| · |x-2|) le 0.
Сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2022, 9 класс, задача 2
(4 баллов) Найдите количество треугольников периметра 600 с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.
Сложная
Теория чисел
Планиметрия
Комбинаторика
Физтех 2022, 9 класс, задача 3
(4 баллов) Решите систему уравнений
Сложная
Выражения и преобразования
Физтех 2022, 9 класс, задача 4
(5 баллов) Окружность с центром O касается прямых AB и BC в точках A и C соответственно. Высота CH треугольника ABC пересекает эту окружность в точках C и D. Найдите отношение AB:CH, если площадь треугольника ABD равна 6, а радиус окружности равен 4.
Сложная
Планиметрия
Физтех 2022, 9 класс, задача 5
(5 баллов) В прямоугольном треугольнике ABC на катете AC и гипотенузе AB отмечены точки D и E соответственно, такие что DEperp AB. Найдите отношение AD:AC и площадь треугольника AED, если известно, что AC=√7, BC=2√(frac73), а angle CED=30circ.
Сложная
Планиметрия
Физтех 2022, 9 класс, задача 6
(5 баллов) Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек с координатами (x;y), удовлетворяющими системе
Сложная
Выражения и преобразования
Планиметрия
Физтех 2022, 9 класс, задача 7
(5 баллов) Функция f определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел a и b из этого множества выполнено равенство f(ab)=f(a)+f(b), и при этом f(p)=p для любого простого числа p. Найдите количество пар натуральных чисел (x;y) таких, что 1le xle 18, 1le yle 18 и
