Физтех 2022, 10 класс, задача 1
(2 баллов) Числа a, b, c являются первым, вторым и третьим членами геометрической прогрессии соответственно (числа a, b, c не заданы), а четвёртый член прогрессии является корнем уравнения ax2+2bx+c=0. Найдите третий член прогрессии.Физтех 2022, 10 класс, задача 2
(4 баллов) Найдите количество треугольников периметра 1200 с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.Физтех 2022, 10 класс, задача 3
(4 баллов) Решите систему уравненийФизтех 2022, 10 класс, задача 4
(5 баллов) а) В прямоугольном треугольнике ABC на катете AC и гипотенузе AB отмечены точки D и E соответственно, такие что AD:AC=3:5 и DEperp AB. Найдите тангенс угла BAC, если известно, что angle CED=45circ. б) Пусть дополнительно известно, что AC=√(29). Найдите площадь треугольника CED.Физтех 2022, 10 класс, задача 5
(5 баллов) Окружности Ω и ω касаются в точке A внутренним образом. Отрезок AB - диаметр большей окружности Ω, а хорда BC окружности Ω касается ω в точке D. Луч AD повторно пересекает Ω в точке E. Найдите радиусы окружностей и площадь четырёхугольника BACE, если известно, что CD=1, BD=3.Физтех 2022, 10 класс, задача 6
(5 баллов) Найдите все пары чисел (a;b) такие, что неравенство 2x2-x-1le ax+ble x+|2x-1| выполнено для всех x на промежутке [-frac14;frac32].Физтех 2022, 10 класс, задача 7
(5 баллов) Функция f определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел a и b из этого множества выполнено равенство f(ab)=f(a)+f(b), и при этом f(p)=[p/2] для любого простого числа p ([x] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x). Найдите количество
