Физтех 2022, 10 класс, задача 2
( баллов) Найдите количество треугольников периметра с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.
Ответ
Ответ. .
Решение. Рассмотрим треугольник . Пусть его биссектриса и медиана пересекаются в точке . В треугольнике отрезок является биссектрисой и высотой, поэтому треугольник равнобедренный, .
Обозначим , . Тогда . По свойству биссектрисы
поэтому если , то . Сумма сторон треугольника равна периметру, то есть , откуда , поэтому . Учтём неравенство треугольника:
Так как , то . На этом интервале содержится целых значений .
Покажем, что никакая неупорядоченная тройка длин сторон треугольника не была посчитана более одного раза. Из двойного неравенства заключаем, что из сторон треугольника , и сторона - наименьшая. Тогда по заданному значению вся тройка восстанавливается однозначно: наименьшее из этих чисел равно , ещё одно равно , а третье равно , где - периметр. Поэтому две различные неупорядоченные тройки длин сторон задаются различными значениями .