Физтех 2022, 11 класс, задача 5
( баллов) Функция определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел и из этого множества выполнено равенство , и при этом для любого простого числа ( обозначает наибольшее целое число, не превосходящее ). Найдите количество пар натуральных чисел таких, что , и .
Ответ
Ответ. .
Решение. Подставляя в равенство , получаем , значит, . Если же для произвольных натуральных , положить , , то получаем
откуда
Таким образом, чтобы вычислить значение функции в произвольной положительной рациональной точке, нам достаточно значения функции для любого натурального числа.
Для простых чисел и единицы значения функции мы уже знаем. Для составных чисел значения функции могут быть найдены, если их разложить на простые множители и воспользоваться равенством , например,
Аналогичным образом вычисляем значения функции для и записываем их в таблицу:
Поскольку
то из следует, что . Таким образом, количество пар натуральных чисел таких, что , совпадает с количеством пар, для которых .
Посчитаем количество пар , при которых . Ввиду того, что , нужно найти количество пар из таблицы выше, для которых . Рассмотрим несколько случаев:
- . В данном случае имеется варианта.
- , а . В таблице есть аргументов, при которых . Выбирая пару таких аргументов, первый можно выбрать способами, а второй - способами. Значит, количество пар такого типа равно .
- , а . Аналогично предыдущему пункту получаем пары.
- , а . Здесь пары.
- , а . Здесь также пары.
Итого есть пар натуральных чисел , для которых .
Всего имеется пар, поэтому тех, при которых , ровно