Физтех 2025, 9 класс, задача 4

Сложная
Планиметрия
Комбинаторика
Источник:
Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2025, 9 класс

( баллов) На координатной плоскости рассматриваются ромбы с длиной стороны такие, что абсциссы и ординаты всех четырёх вершин каждого ромба — целые числа из промежутка . Сколько существует таких ромбов? Напомним, что квадрат также является ромбом.

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ. .

Решение. Заметим, что сторона ромба может либо быть параллельна одной из осей, либо быть гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами и , параллельными осям.
Рассмотрим левую вершину ромба (если таких две, то рассмотрим нижнюю) . Тогда смежной вершиной может быть одна из точек , , , , , .
Тройки , , , порождают ромбы, вписанные в квадрат . Таких квадратов в исходном поле .
Тройки , порождают ромбы, вписанные в прямоугольники . Таких прямоугольников в исходном поле .
Тройки , порождают ромбы, вписанные в прямоугольники .
Тройка порождает ромб, вписанный в прямоугольник . Таких прямоугольников в исходном поле .
Тройка порождает ромб, вписанный в прямоугольник .
Тройки , порождают ромбы, вписанные в прямоугольник . Таких прямоугольников в исходном поле .
Тройки , порождают ромбы, вписанные в прямоугольник .
Тройка порождает ромб, вписанный в квадрат . Таких квадратов в исходном поле . Суммируя эти случаи, получаем ромба.

Похожие задачи

Физтех 2021, 11 класс, задача 6

(7 баллов) Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω с центром O. Окружность, проходящая через точки A, O и C, пересекает отрезок BC в точке P. Касательные к ω, проведённые через точки A и C, пересекаются в точке T. Отрезок TP пересекает сторону AC в точке K. Известно, что площади треуголь
Сложная
Планиметрия

Физтех 2023, 9 класс, задача 7

(6 баллов) Вписанная окружность ω прямоугольного треугольника ABC с прямым углом B касается его сторон CA, AB, BC в точках D, E, F соответственно. Луч ED пересекает прямую, перпендикулярную BC, проходящую через вершину C, в точке Y; X - вторая точка пересечения прямой FY с окружностью ω. Известно, ч
Сложная
Планиметрия

Физтех 2022, 9 класс, задача 2

(4 баллов) Найдите количество треугольников периметра 600 с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.
Сложная
Теория чисел
Планиметрия
Комбинаторика

Физтех 2024, 9 класс, задача 5

(5 баллов) Продолжение сторон BC (за точку C) и AD (за точку D) вписанного в окружность четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E. Центр O окружности, вписанной в треугольник ABE, лежит на отрезке CD. Найдите наименьшее возможное значение суммы ED+DO, если известно, что BE=10.
Сложная
Планиметрия