Физтех 2025, 9 класс, задача 5
( баллов) Найдите все пары целых чисел , удовлетворяющих уравнению
Ответ. .
Решение. Заметим, что можно искать только неотрицательные значения , так как пары чисел и одновременно удовлетворяют или не удовлетворяют уравнению. Очевидно также, что .
Перепишем уравнение в виде:
Заметим, что тогда , а . При решений нет, а при числа и должны быть чётными, причём ровно одно из них кратно четырём, так как разность этих чисел делится на , но не делится на . Кроме того, ровно одно из этих чисел делится на .
Так как и , то возможны два варианта:
или
В последнем случае решений нет. С учётом симметрии по получаем .