Физтех 2023, 9 класс, задача 2
( баллов) Известно, что дробь несократима (, ). На доске записана дробь . При каком наибольшем могло оказаться, что дробь сократима на ?
Ответ. .
Решение. Пусть . Так как
т. е.
из этого равенства следует, что делится нацело на . Аналогично доказывается, что делится нацело на .
Поэтому
так как числа и взаимно просты и .
Докажем, что значение может достигаться. Для этого достаточно взять , - при этом дробь равна