Физтех 2022, 11 класс, задача 6
( баллов) Найдите все пары чисел такие, что неравенство
выполнено для всех на промежутке .
Ответ
Ответ. , .
Решение. Рассмотрим второе неравенство. Обозначим . График - парабола с ветвями вниз. На концах данного в условии промежутка имеем
Так как неравенство должно выполняться на всём промежутке, то точки и могут располагаться на прямой или выше неё. Отсюда самое "высокое" расположение этой прямой (на указанном промежутке) есть прямая . Составляя её уравнение по двум точкам, имеем (назовём эту прямую ).
График левой части неравенства - гипербола
Заметим, что она касается прямой в точке, принадлежащей промежутку . Действительно, уравнение
имеет единственное решение , и при этом
то есть угловой коэффициент прямой совпадает с производной функции в их общей точке. Несложно видеть (если построить график), что на данном промежутке прямая находится выше гиперболы. Любая прямая, расположенная "ниже" прямой , пересекается с гиперболой и потому не удовлетворяет условию.
Итак, - единственная возможная прямая, удовлетворяющая условию; следовательно, , .