Физтех 2023, 9 класс, задача 6
( баллов) Из пункта в пункт выезжают одновременно велосипедист и мотоциклист. Оба они движутся с постоянной скоростью, и мотоциклист прибывает в пункт на часа раньше велосипедиста. Если бы велосипедист ехал со своей скоростью в течение того времени, что понадобилось мотоциклисту на дорогу от к , а мотоциклист - в течение того времени, что понадобилось велосипедисту на этот путь, то мотоциклист проехал бы на километров больше. Если бы скорость каждого из них возросла на км/ч, то велосипедист приехал бы в на час минут позже мотоциклиста. Найдите расстояние между и .
Ответ. километров.
Решение. Пусть - скорость мотоциклиста, - скорость велосипедиста, а - расстояние между и . По условию имеем
Эквивалентно
Разделив третье уравнение на первое, получаем равенство , а разделив первое уравнение на второе - равенство . Последнее уравнение может быть преобразовано так:
Так как , отсюда следует, что . Полученная система имеет два решения и . Поскольку (мотоциклист приезжает раньше, следовательно, едет быстрее), подходит только второе решение. Тогда