Физтех 2020, 9 класс, задача 7
( баллов) Решите систему
Ответ. , .
Решение. Рассмотрим неравенство системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в нуль. Это прямые
Они делят плоскость на части. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка . Подстановкой убеждаемся, что в этой точке выражение положительно, а отрицательно. Таким образом, неравенство принимает вид
откуда . С учётом рассматриваемых ограничений подходит область, лежащая выше прямой и ниже прямых , .
Аналогично рассматриваем остальные три случая и в итоге получаем квадрат с вершинами
Рассмотрим уравнение системы. При и оно принимает вид
то есть задаёт окружность радиуса с центром в точке , точнее её часть, лежащую в первой четверти. Поскольку уравнение инвариантно относительно замены на и/или на , множество точек, заданное уравнением системы, симметрично относительно обеих осей координат. Отражая полученную дугу относительно обеих осей координат и точки , получаем искомое множество.
Теперь из рисунка видно, что множества имеют ровно две общие точки, то есть система имеет два решения: и .