Физтех 2021, 11 класс, задача 5
( баллов) Даны числа , , . При каких два из этих чисел равны, а третье меньше их на ?
Ответ. .
Решение. Из условия следует, что функции , , положительны и не принимают значения при всех из области допустимых значений. Пусть
Тогда
По условию числа удовлетворяют одному из трёх условий:
Рассмотрим случай и . Подставляя и в полученное выше уравнение , имеем
откуда
Так как многочлен не имеет корней, то единственным решением уравнения является , поэтому системе удовлетворяет тройка чисел , , . Случаи и рассматриваются аналогично; из них получаем, что либо , , , либо , , . Теперь для каждой из полученных троек чисел найдём .
Если , то , то есть . Поэтому , то есть значений , при которых , , не существует.
Если , то . Возводя обе части последнего уравнения в квадрат, получаем уравнение , которое не имеет корней, поэтому случай , также не подходит.
Если , то
Это уравнение эквивалентно уравнению , корнями которого являются и , но не подходит, так как в этом случае . Значение подходит: , .
Итак, - единственное решение задачи.