Физтех 2024, 9 класс, задача 7

Сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2024, 9 класс

( баллов) Найдите все пары целых чисел , удовлетворяющие уравнению

Ответ. , , , , , .

Решение. Поскольку подкоренные выражения должны быть неотрицательными, получаем неравенства

На плоскости первое неравенство задаёт круг радиуса с центром в точке , а второе - полосу между прямыми и . На пересечении двух этих множеств расположено точек с целочисленными координатами: , , , , , и .

Подставляя эти пары чисел в уравнение, убеждаемся, что только одна из них - - ему не удовлетворяет. Остальные пар являются решениями.

Похожие задачи

Физтех 2023, 9 класс, задача 3

(5 баллов) Решите уравнение √(2x²-3x+4)-√(2x²+x+3)=1-4x.

Сложная

Выражения и преобразования

Физтех 2024, 9 класс, задача 2

(4 баллов) Натуральные числа a и b таковы, что их сумма равна 40, а значение выражения a²-2ab+b²+15a-15b равно 17p⁵, где p - некоторое простое число. Найдите числа a и b.

Сложная

Теория чисел

Физтех 2022, 10 класс, задача 7

(5 баллов) Функция f определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел a и b из этого множества выполнено равенство f(ab)=f(a)+f(b), и при этом f(p)=[p/2] для любого простого числа p ([x] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x). Найдите количество

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

Физтех 2022, 10 класс, задача 2

(4 баллов) Найдите количество треугольников периметра 1200 с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.

Сложная

Теория чисел

Планиметрия

Комбинаторика