Физтех 2020, 10 класс, задача 7

Ответ. .

Решение. Рассмотрим первое уравнение системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые

Они делят плоскость на части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка . Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке оба выражения и отрицательны. Таким образом, уравнение принимает вид

откуда . С учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках и . Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата с вершинами в точках

Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью , поэтому можно считать, что .

С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде

Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через . Если , у уравнения нет решений. При оно задаёт две точки и . Поскольку обе они не принадлежат квадрату , система не имеет решений, и значение не удовлетворяет условию задачи. Перейдём к случаю .

При уравнение принимает вид

и мы получаем окружность радиуса с центром в точке или её часть, лежащую в полуплоскости , если вся она в этой полуплоскости не помещается. Поскольку уравнение инвариантно относительно замены на , множество симметрично относительно оси . Таким образом, есть совокупность полученной выше окружности или её части и окружности, получающейся из уже построенной отражением относительно оси .

Если , график

не пересекает квадрат , и система уравнений не имеет решений. Если , система уравнения имеет два решения - точки и .

Если , дуга окружности , , пересекает отрезок дважды; эти две точки, а также им симметричные относительно оси , образуют различных решения системы.

Если , дуга окружности , , пересекает отрезки и в двух точках с положительной абсциссой. Аналогично, эти две точки, а также им симметричные относительно оси , образуют различных решения системы.

Если , система уравнений имеет два решения - точки и . Наконец, если , дуга окружности , , не пересекает стороны квадрата , и система уравнений не имеет решений.

Таким образом, система уравнений имеет ровно два решения только при и .