Физтех 2020, 10 класс, задача 2
( баллов) Дана геометрическая прогрессия , все члены которой положительны, а их сумма равна . Известно, что если все её члены с номерами, кратными (т.е. ), увеличить в раз, сумма увеличится в раз. А как изменится , если все её члены, стоящие на чётных местах (т.е. ), увеличить в раза?
Ответ. увеличится в раз.
Решение. Обозначим знаменатель геометрической прогрессии через . Так как все её члены положительны, . Если , то , а при увеличении членов с номерами, кратными , в раз получим сумму
Это противоречит условию, следовательно, . Значит, сумма первых членов прогрессии может быть посчитана по формуле
В частности,
При увеличении членов в раз получаем сумму
Эта сумма равна . Отсюда
то есть
Получаем или . Нам подходит положительное значение , то есть .
Если увеличить все члены прогрессии с чётными номерами в раза, получаем
Значит, сумма возрастёт в раз.