Физтех 2023, 9 класс, задача 5

Сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2023, 9 класс

( баллов) Ненулевые действительные числа , , удовлетворяют равенствам и . Найдите наибольшее возможное значение выражения .

Ответ. .

Решение. Перемножив равенства из условия, получаем

Умножая обе части уравнения на и упрощая, имеем

Решаем это уравнение как квадратное уравнение относительно одной из переменных, например, относительно . Дискриминант равен , поэтому , откуда или .

В первом случае , и дробь, данная в условии, равна

а во втором находим, что и дробь принимает вид

Наибольшее значение дроби - это .

Похожие задачи

Физтех 2022, 10 класс, задача 1

(2 баллов) Числа a, b, c являются первым, вторым и третьим членами геометрической прогрессии соответственно (числа a, b, c не заданы), а четвёртый член прогрессии является корнем уравнения ax²+2bx+c=0. Найдите третий член прогрессии.

Сложная

Выражения и преобразования

Физтех 2025, 9 класс, задача 3

(4 баллов) Решите неравенство |√(x²-2x-3)+6|ge|√(x²-2x-3)+2x-1|+|7-2x|.

Сложная

Выражения и преобразования

Физтех 2024, 9 класс, задача 1

(3 баллов) Найдите все значения параметра t, при каждом из которых уравнение x²+2√3tx+4t²-4=0 имеет два различных действительных корня, а их произведение положительно.

Сложная

Выражения и преобразования

Физтех 2020, 10 класс, задача 7

(6 баллов) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет ровно два решения.

Сложная

Выражения и преобразования