Физтех 2023, 9 класс, задача 5
( баллов) Ненулевые действительные числа , , удовлетворяют равенствам и . Найдите наибольшее возможное значение выражения .
Ответ
Ответ. .
Решение. Перемножив равенства из условия, получаем
Умножая обе части уравнения на и упрощая, имеем
Решаем это уравнение как квадратное уравнение относительно одной из переменных, например, относительно . Дискриминант равен , поэтому , откуда или .
В первом случае , и дробь, данная в условии, равна
а во втором находим, что и дробь принимает вид
Наибольшее значение дроби - это .