Физтех 2022, 10 класс, задача 1

Сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2022, 10 класс

( баллов) Числа , , являются первым, вторым и третьим членами геометрической прогрессии соответственно (числа , , не заданы), а четвёртый член прогрессии является корнем уравнения . Найдите третий член прогрессии.

Ответ. .

Решение. Числа , , образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда . При этом оказывается, что дискриминант квадратного уравнения равен нулю, а четвёртый член прогрессии равен корню этого уравнения, то есть

где - знаменатель прогрессии. С другой стороны, . Отсюда получаем значение третьего члена прогрессии: .

Похожие задачи

Физтех 2021, 11 класс, задача 1

(5 баллов) Число S - сумма первых 10 членов возрастающей арифметической прогрессии a₁, a₂, a₃, ldots, состоящей из целых чисел. Известно, что a₆a₁₂>S+1, a₇a₁₁1.

Сложная

Выражения и преобразования

Физтех 2021, 11 класс, задача 5

(5 баллов) Даны числа log_√(5x-1)(4x+1), log_4x+1(frac x2+2)², log_{frac x2+2}(5x-1). При каких x два из этих чисел равны, а третье меньше их на 1?

Сложная

Выражения и преобразования

Физтех 2025, 9 класс, задача 6

(5 баллов) Найдите все значения параметра a при каждом из которых для множества точек плоскости Oxy задаваемых уравнением x²+y² = a² наибольшее значение выражения x²-6x+a равно 8.

Сложная

Выражения и преобразования

Физтех 2020, 10 класс, задача 7

(6 баллов) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет ровно два решения.

Сложная

Выражения и преобразования