Физтех 2022, 11 класс, задача 4

Сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2022, 11 класс

( баллов) Окружности и касаются в точке внутренним образом. Отрезок - диаметр большей окружности , а хорда окружности касается в точке . Луч повторно пересекает в точке . Прямая, проходящая через точку перпендикулярно , повторно пересекает в точке . Найдите радиусы окружностей, угол и площадь треугольника , если известно, что , .

Ответ. , , , .

Решение. Обозначим , а радиусы и через и соответственно. Пусть и - центры окружностей и соответственно; - точка пересечения и , отличная от .

Отметим, что (касательная перпендикулярна радиусу ) и (угол вписан в окружность и опирается на её диаметр). Значит, треугольники и подобны (по двум углам). Отсюда

то есть

а значит, . По теореме о касательной и секущей

Следовательно,

Далее находим углы и дуги:

Следовательно,

Угол известен, так как

Значит,

Перейдём к нахождению площади. Треугольник прямоугольный ( как вписанный угол, опирающийся на диаметр), поэтому

Отсюда

Похожие задачи

Физтех 2021, 11 класс, задача 6

(7 баллов) Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω с центром O. Окружность, проходящая через точки A, O и C, пересекает отрезок BC в точке P. Касательные к ω, проведённые через точки A и C, пересекаются в точке T. Отрезок TP пересекает сторону AC в точке K. Известно, что площади треуголь

Сложная

Планиметрия

Физтех 2020, 10 класс, задача 6

(6 баллов) а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй - точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а angle CAD=90^circ. На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что BF=BD (то

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, 9 класс, задача 7

(6 баллов) На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что angle MNB=angle ANC=80^circ. Найдите angle CAN, если известно, что BN · MA=2BM · NC.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2021, 10 класс, задача 6

(7 баллов) Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, и при этом треугольники BOC и AOD - правильные. Точка T симметрична точке O относительно середины стороны CD. а) Докажите, что ABT - правильный треугольник. б) Пусть дополнительно известно, что BC=3, AD=7. Найдите отношение

Сложная

Планиметрия