Физтех 2021, 10 класс, задача 6
( баллов) Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются в точке , и при этом треугольники и - правильные. Точка симметрична точке относительно середины стороны .
а) Докажите, что - правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что , . Найдите отношение площади треугольника к площади четырёхугольника .
Ответ. б) .
Решение. а) Несложно показать, что - равнобедренная трапеция или прямоугольник, поэтому вокруг можно описать окружность (назовём её ). Диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому он параллелограмм, и при этом . Поскольку , в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна , и вокруг него также можно описать окружность. Следовательно, все точек , , , , лежат на окружности .
Углы и вписаны в и опираются на одну дугу, поэтому они равны, и . Далее отметим, что
Отсюда следует, что
Итак, доказано, что в треугольнике два угла равны , поэтому он равносторонний.
б) По теореме косинусов из треугольника находим, что
Тогда площадь треугольника равна
Площадь трапеции находим как полупроизведение диагоналей, умноженное на синус угла между ними:
Отсюда .