Физтех 2024, 9 класс, задача 3

Сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2024, 9 класс

( баллов) На стороне треугольника отмечены точки и так, что . Прямая, параллельная и проходящая через точку , пересекает продолжение стороны за точку в такой точке , что . Найдите , если , .

Ответ. .

Рисунок к решению задачи 3

Решение. Пусть - точка пересечения и . Поскольку , а , по теореме Фалеса и .

Из равенства следует, что . Обозначим длину любого из этих отрезков через . Поскольку и треугольник - равнобедренный, , поэтому - биссектриса треугольника .

Значит, . В треугольнике имеем , , , . По теореме косинусов

Следовательно, .

Похожие задачи

Физтех 2022, 10 класс, задача 2

(4 баллов) Найдите количество треугольников периметра 1200 с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.

Сложная

Теория чисел

Планиметрия

Комбинаторика

Физтех 2021, 10 класс, задача 1

(5 баллов) Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC. Окружность с диаметром BD пересекает стороны AB и BC в точках P и T соответственно. Точки M и N - середины отрезков AD и CD соответственно. Известно, что PMparallel TN. а) Найдите угол ABC. б) Пусть дополнительно известно, что MP=frac12, NT=fr

Сложная

Планиметрия

Физтех 2022, 9 класс, задача 2

(4 баллов) Найдите количество треугольников периметра 600 с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.

Сложная

Теория чисел

Планиметрия

Комбинаторика

Физтех 2021, 10 класс, задача 5

(5 баллов) На плоскости с заданной прямоугольной декартовой системой координат нарисован квадрат с вершинами в точках (0;0), (0;59), (59;59) и (59;0). Найдите количество способов выбрать два узла сетки внутри этого квадрата (не включая его границу) так, чтобы хотя бы один из этих узлов лежал на одно

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика