Физтех 2021, 10 класс, задача 1

Сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2021, 10 класс

( баллов) Точка лежит на стороне треугольника . Окружность с диаметром пересекает стороны и в точках и соответственно. Точки и - середины отрезков и соответственно. Известно, что .

а) Найдите угол .

б) Пусть дополнительно известно, что , , . Найдите площадь треугольника .

Ответ. а) ; б) .

Решение. а) Точки и лежат на окружности с диаметром , поэтому . Следовательно, треугольники и прямоугольные; и - их медианы. Так как медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине, , . Пусть . Поскольку треугольник равнобедренный, и , (как внешний угол ). Углы и равны в силу параллельности прямых и . А так как треугольник также равнобедренный, то

Значит, сумма углов и треугольника равна , и его третий угол также равен .

б) В силу сказанного выше , . Обозначим . Тогда . По теореме косинусов для треугольников и получаем, что

Но по теореме Пифагора , откуда следует, что

Далее находим:

Похожие задачи

Физтех 2020, 9 класс, задача 6

(5 баллов) Две окружности одинакового радиуса 9 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй - точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а angle CAD=90^circ. На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что BF=BD (точки

Сложная

Планиметрия

Физтех 2022, 10 класс, задача 2

(4 баллов) Найдите количество треугольников периметра 1200 с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.

Сложная

Теория чисел

Планиметрия

Комбинаторика

Физтех 2021, 11 класс, задача 6

(7 баллов) Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω с центром O. Окружность, проходящая через точки A, O и C, пересекает отрезок BC в точке P. Касательные к ω, проведённые через точки A и C, пересекаются в точке T. Отрезок TP пересекает сторону AC в точке K. Известно, что площади треуголь

Сложная

Планиметрия

Физтех 2022, 9 класс, задача 6

(5 баллов) Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек с координатами (x;y), удовлетворяющими системе

Сложная

Выражения и преобразования

Планиметрия