Физтех 2021, 10 класс, задача 5
( баллов) На плоскости с заданной прямоугольной декартовой системой координат нарисован квадрат с вершинами в точках , , и . Найдите количество способов выбрать два узла сетки внутри этого квадрата (не включая его границу) так, чтобы хотя бы один из этих узлов лежал на одной из прямых или , но оба выбранных узла не лежали ни на какой прямой, параллельной любой из координатных осей.
Ответ. .
Решение. Возможны два случая.
- Оба выбранных узла лежат на указанных в условии прямых. На каждой из них внутри квадрата лежат по точек, причём повторяющихся среди них нет (точка пересечения прямых имеет нецелые координаты). Для выбора первой точки есть способов, а для выбора второй - на меньше (подходят все точки, кроме первой и двух точек, лежащих с первой на той же горизонтали или вертикали). При этом мы учитывали упорядоченные пары точек, поэтому каждую пару точек мы посчитали дважды. Значит, в этом случае получаем
способа.
- Ровно один из выбранных узлов лежит на данных в условии прямых. Выберем сначала узел, лежащий на одной из прямых ( способов). Посчитаем, сколько после этого есть способов выбрать второй узел. Всего в квадрате отмечены узлов; из них мы должны исключить узлы на диагоналях ( штук), а также узлы, стоящие с выбранным на одной горизонтали ( штук с учётом исключённых ранее диагональных) или на одной вертикали ( штук). Отсюда второй узел можно выбрать способами, а количество способов выбрать пару узлов равно .
Подводя итоги, имеем способов.