Физтех 2024, 9 класс, задача 4
( баллов) В классе для занятий иностранным языком стоят три ряда парт, в каждом из которых по три парты, расположенных друг за другом. Парта рассчитана на одного человека. Школьник хорошо видит доску в любом из следующих случаев (и только в них):
- он сидит на первой парте в ряду,
- ближайшая парта перед ним пуста,
- за ближайшей партой перед ним сидит ученик меньшего роста.
Сколькими способами можно рассадить в классе учеников группы так, чтобы всем было хорошо видно доску, если известно, что все школьники разного роста? Ответ дайте в виде числа или выражения, содержащего не более двух слагаемых (в слагаемые могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).
Ответ. .
Решение. Первый способ.
При любой рассадке учеников в классе одна парта остаётся пустой, а в ряду из подряд стоящих парт любые школьников единственным образом могут сесть так, чтобы всем было хорошо видно доску.
Если пустая парта является первой или третьей в каком-либо ряду, то оставшиеся в этом ряду две парты идут подряд, и тогда количество возможных рассадок в классе равно количеству способов разбить человек на три группы: две группы по человека и одну группу из человек. Это количество равно . Суммарно первых и третьих парт шесть, поэтому полученное число надо умножить на .
Если пустая парта стоит в каком-либо ряду второй, то при любом расположении любых двух школьников в этом ряду доска им будет видна хорошо. Тогда количество подходящих рассадок вдвое больше, чем в предыдущем случае, и оно равно . Вторых парт три, значит, потребуется умножение на .
Всего получаем
различных рассадок.
Второй способ.
При любой рассадке одна парта останется пустой. Ряд, в котором она расположена, выбирается тремя способами. Для каждого из этих трёх случаев между рядами школьники распределяются способами. В ряду с пустой партой любых двух школьников можно четырьмя способами рассадить так, чтобы они оба хорошо видели доску. В остальных рядах рассадка осуществляется единственным способом.
Итого способов.