Физтех 2020, 10 класс, задача 1

Сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2020, 10 класс

( баллов) Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно . Ответ необходимо представить в виде целого числа.

Ответ. .

Решение. Ввиду того, что

искомые числа могут состоять из следующих цифр:

а) две двойки, две пятёрки, одна семёрка и три единицы;

б) четвёрка, две пятёрки, одна семёрка и четыре единицы.

Вычислим количество вариантов в каждом случае.

а) Сначала выбираем два места из восьми для расположения двоек:

Затем два места из шести оставшихся для размещения пятёрок:

Затем одно место из четырёх оставшихся для семёрки:

Оставшиеся места занимают единицы. По правилу произведения выходит

способов.

б) Рассуждая аналогично, находим, что количество способов в этом случае равно

Окончательно получаем

способов.

Похожие задачи

Физтех 2025, 9 класс, задача 4

(5 баллов) На координатной плоскости рассматриваются ромбы с длиной стороны 5 такие, что абсциссы и ординаты всех четырёх вершин каждого ромба — целые числа из промежутка [1;50]. Сколько существует таких ромбов? Напомним, что квадрат также является ромбом.

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика

Физтех 2024, 9 класс, задача 6

(4 баллов) На острове расположено несколько деревень. Между некоторыми деревнями проложены дороги. Известно, что из любой деревни в любую другую можно добраться, причём по единственному маршруту. Также известно, что есть четыре деревни, из которых выходят 3, 4, 5 и 7 дорог соответственно, а из остал

Сложная

Комбинаторика

Физтех 2020, 9 класс, задача 5

(4 баллов) Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 1400. Ответ необходимо представить в виде целого числа.

Сложная

Комбинаторика

Физтех 2021, 10 класс, задача 5

(5 баллов) На плоскости с заданной прямоугольной декартовой системой координат нарисован квадрат с вершинами в точках (0;0), (0;59), (59;59) и (59;0). Найдите количество способов выбрать два узла сетки внутри этого квадрата (не включая его границу) так, чтобы хотя бы один из этих узлов лежал на одно

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика