Физтех 2022, 11 класс, задача 1
( баллов) Углы и удовлетворяют равенствам
Найдите все возможные значения , если известно, что он определён и что этих значений не меньше трёх.
Ответ
Ответ. , , .
Решение. Преобразуя в левой части второго равенства сумму синусов в произведение, получаем
Подставляем в это соотношение значение синуса из первого равенства:
Отсюда следует, что исходные равенства эквивалентны совокупности двух систем уравнений:
Из первой системы получаем
Далее имеем
В первом случае не существует, а во втором случае .
Аналогично рассматриваем вторую систему:
Отсюда или .
Итак, возможные значения - это , и .