Физтех 2021, 9 класс, задача 3
( баллов) На плоскости даны точка , координаты которой удовлетворяют уравнению , и окружность с центром в точке , заданная уравнением . Найдите все значения параметра , при которых точки и лежат по разные стороны от прямой (точки и не лежат на этой прямой).
Ответ. .
Решение. Первое уравнение можно преобразовать так:
Отсюда получаем, что координаты точки удовлетворяют равенствам и , то есть , .
Так как второе уравнение задаёт окружность, то . При этом условии уравнение можно переписать в виде
откуда далее
и окончательно
Значит, координаты точки следующие: , .
Для того, чтобы точки и лежали по разные стороны от прямой , необходимо и достаточно, чтобы их ординаты удовлетворяли неравенству
то есть
Отсюда
Решая это неравенство методом интервалов, получаем ответ:
Замечание. Для решения задачи достаточно найти ординаты точек и .