Физтех 2022, 10 класс, задача 3

Сложная
Выражения и преобразования
Источник:
Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2022, 10 класс

( баллов) Решите систему уравнений

Ответ. , .

Решение. Первое уравнение при условии равносильно уравнению

откуда

Решая это уравнение как квадратное относительно переменной , имеем

поэтому или . Подставляем во второе уравнение исходной системы.

Если , то , и получаем две пары:

и

Если , то , откуда также имеем две пары: , и , .

Из четырёх найденных пар чисел неравенству удовлетворяют только две из них:

Похожие задачи

Физтех 2023, 9 класс, задача 5

(4 баллов) Ненулевые действительные числа x, y, z удовлетворяют равенствам 3x+2y=z и dfrac3x+dfrac1y=dfrac2z. Найдите наибольшее возможное значение выражения dfrac{3x2-4y2-z2}{x2-6y2}.
Сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2020, 10 класс, задача 2

(4 баллов) Дана геометрическая прогрессия b1,b2,ldots,b3000, все члены которой положительны, а их сумма равна S. Известно, что если все её члены с номерами, кратными 3 (т.е. b3,b6,ldots,b3000), увеличить в 50 раз, сумма S увеличится в
Сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2022, 9 класс, задача 6

(5 баллов) Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек с координатами (x;y), удовлетворяющими системе
Сложная
Выражения и преобразования
Планиметрия

Физтех 2022, 10 класс, задача 1

(2 баллов) Числа a, b, c являются первым, вторым и третьим членами геометрической прогрессии соответственно (числа a, b, c не заданы), а четвёртый член прогрессии является корнем уравнения ax2+2bx+c=0. Найдите третий член прогрессии.
Сложная
Выражения и преобразования