Физтех 2022, 9 класс, задача 5
( баллов) В прямоугольном треугольнике на катете и гипотенузе отмечены точки и соответственно, такие что . Найдите отношение и площадь треугольника , если известно, что , , а .
Ответ. , .
Решение. Из точек и отрезок виден под углом , поэтому точки , , , лежат на одной окружности. Но тогда и вписаны в эту окружность и опираются на одну и ту же дугу, а значит, равны между собой, то есть . Следовательно,
Тогда
и .
Вычислим площадь треугольника . Обозначим . Далее находим:
Следовательно,