Физтех 2022, 10 класс, задача 5

Сложная

Источник:

Олимпиаде школьников «Физтех», Заключительный этап, 2022, 10 класс

( баллов) Окружности и касаются в точке внутренним образом. Отрезок - диаметр большей окружности , а хорда окружности касается в точке . Луч повторно пересекает в точке . Найдите радиусы окружностей и площадь четырёхугольника , если известно, что , .

Ответ. , , .

Решение. Обозначим , а радиусы и через и соответственно. Пусть и - центры окружностей и соответственно; - точка пересечения и , отличная от .

Отметим, что (касательная перпендикулярна радиусу ) и (угол вписан в окружность и опирается на её диаметр). Значит, треугольники и подобны (по двум углам). Отсюда

то есть

а значит, . По теореме о касательной и секущей

Следовательно, , , .

Далее находим углы:

Следовательно,

Перейдём к нахождению площади. Она равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними:

Поскольку

то окончательно

Похожие задачи

Физтех 2022, 9 класс, задача 6

(5 баллов) Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек с координатами (x;y), удовлетворяющими системе

Сложная

Выражения и преобразования

Планиметрия

Физтех 2022, 10 класс, задача 2

(4 баллов) Найдите количество треугольников периметра 1200 с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.

Сложная

Теория чисел

Планиметрия

Комбинаторика

Физтех 2021, 10 класс, задача 6

(7 баллов) Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, и при этом треугольники BOC и AOD - правильные. Точка T симметрична точке O относительно середины стороны CD. а) Докажите, что ABT - правильный треугольник. б) Пусть дополнительно известно, что BC=3, AD=7. Найдите отношение

Сложная

Планиметрия

Физтех 2021, 11 класс, задача 3

(7 баллов) Пусть M - фигура на декартовой плоскости, состоящая из всех точек (x;y) таких, что существует пара вещественных чисел a, b, при которых выполняется система неравенств Найдите площадь фигуры M.

Сложная

Планиметрия